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在黃河上游，大河穿越深邃峽谷，水聲如雄獅怒吼，洶涌澎湃。行至兩千余里，大河驟轉(zhuǎn)九十度彎，轉(zhuǎn)而向西，壯美無匹。

轉(zhuǎn)彎處，就是我國首座百萬千瓦級水電站——劉家峽水電站，其主體構(gòu)筑物為我國建造的首座超百米的混凝土高壩。然而，鮮為人知的是，劉家峽水電站建成的背后有一批中國計算數(shù)學(xué)家。他們面對國家急迫需求，夜以繼日為大壩設(shè)計和建造奮戰(zhàn)，助推水電站如期完工。

上世紀(jì)五六十年代，以馮康（1980年當(dāng)選中國科學(xué)院院士）為代表的中國科學(xué)院計算數(shù)學(xué)家們在大壩計算中獲得啟示，獨(dú)立于西方創(chuàng)立了有限元方法數(shù)學(xué)理論，開創(chuàng)了科學(xué)與工程計算方法和理論的新領(lǐng)域。

時至今日，有限元方法已成為研發(fā)設(shè)計類工業(yè)軟件的核心技術(shù)之一。橋隧大壩、飛機(jī)船舶、手機(jī)芯片……一個個復(fù)雜事物的誕生，都離不開有限元方法的支持。

如今，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院（以下簡稱數(shù)學(xué)院）的一群年輕人，正站在先輩的肩膀上，努力構(gòu)建新一代基礎(chǔ)工業(yè)軟件計算內(nèi)核，啟航新型工業(yè)化征程。

1?萌芽：援手劉家峽

1958年，甘肅，黃河上游。

作為一項國家重大工程，百萬千瓦級劉家峽水電站開工，其主體結(jié)構(gòu)是一座超百米的大型混凝土壩。我國自主設(shè)計、施工、建造如此巨大的水電工程，還是第一次。如果順利建成，奔涌的黃河水將在這里“歇腳”，實(shí)現(xiàn)發(fā)電、灌溉和防洪，造福一方百姓。

工程難度之大超乎想象，設(shè)計和建設(shè)方法都與以往不同。大壩工程進(jìn)展緩慢，在1961年甚至一度停工。

最初承擔(dān)水壩工程計算攻關(guān)任務(wù)的，是1956年從中國科學(xué)院原數(shù)學(xué)研究所分出去成立的中國科學(xué)院計算技術(shù)研究所三室（現(xiàn)數(shù)學(xué)院計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算研究所的前身，以下簡稱三室）二組的黃鴻慈等人，馮康提供業(yè)務(wù)指導(dǎo)。黃鴻慈和同事們編寫的計算程序質(zhì)量非常高，為大壩計算奠定了堅實(shí)基礎(chǔ)。

1963年2月，農(nóng)歷新年剛過，寒冷依舊，劉家峽大壩設(shè)計組副組長朱昭鈞風(fēng)塵仆仆地來到北京求助，希望科研人員幫助解決大壩應(yīng)力計算問題。馮康等三室領(lǐng)導(dǎo)經(jīng)過慎重考慮，把任務(wù)交給了崔俊芝。那一年，崔俊芝25歲，剛從西北工業(yè)大學(xué)畢業(yè)工作一年，與黃鴻慈、石鐘慈等人在一個辦公室。

用計算數(shù)學(xué)解決工程問題通常有4個步驟：建立數(shù)學(xué)模型、設(shè)計算法、編程實(shí)現(xiàn)、上機(jī)計算。很長一段時間，研究人員被“卡”在計算方法上。

“對方了解工程上的試荷載方法，交給我的任務(wù)是求解由此推導(dǎo)出的40階線性方程組，從而驗(yàn)證該方法的正確性。”1995年當(dāng)選中國工程院院士的崔俊芝研究員，在當(dāng)時費(fèi)盡九牛二虎之力，反復(fù)驗(yàn)算后發(fā)現(xiàn)，該方法得到的線性方程組系數(shù)矩陣近乎是奇異矩陣，難以數(shù)值求解。他還嘗試了黃鴻慈研發(fā)的應(yīng)力函數(shù)法程序等方法，都難以得到令工程師滿意的應(yīng)力場計算結(jié)果。

造成這一困難的主要原因之一是當(dāng)時的算力不夠。崔俊芝回憶，當(dāng)時我國兩臺最早的計算機(jī)——“103”機(jī)、“104”機(jī)相繼誕生不久。他需要在字長39位、容量4K、運(yùn)算速度每秒一萬次、內(nèi)存僅2048個全字長磁芯體的“104”機(jī)上，求解超過1000個未知數(shù)的離散方程。

而劉家峽大壩的工程師們把最后的希望寄托在了中國科學(xué)院的科研人員身上，懇求他們“無論如何要想想辦法”。

“無法滿足用戶要求的時候，就應(yīng)該另辟新路了。我們開始尋找新的方法?！贝蘅≈フf。

馮康（左）與崔俊芝。

2?轉(zhuǎn)機(jī)：合力渡難關(guān)

上世紀(jì)60年代初，為響應(yīng)“向科學(xué)進(jìn)軍”的號召，中國科學(xué)院提出“任務(wù)帶學(xué)科”科研模式，即以完成國家重大需求任務(wù)為目標(biāo)，開展系統(tǒng)研究，解決國家發(fā)展中遇到的科學(xué)問題。

重任在肩，精確計算大壩應(yīng)力場，滿足工程師的要求，成為了三室的主要任務(wù)。

轉(zhuǎn)機(jī)來自馮康推薦的一篇文章和一本書。

崔俊芝至今還記得，當(dāng)年，馮康在一場報告上提到普拉格、辛格1947年發(fā)表于美國《應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》的論文，講述把微分方程寫成變分形式，用變分的原理推導(dǎo)差分格式，這對水壩計算有所啟發(fā)?！榜T先生實(shí)際是在播撒有限元方法的種子，那次報告拉開了三室‘系統(tǒng)性研究’的序幕。”崔俊芝說。

與此同時，馮康倡導(dǎo)成立了第七研究組，即理論組，黃鴻慈任組長。馮康給黃鴻慈推薦了福賽思、沃索合著的《偏微分方程的差分方法》，書中著重講了3類偏微分方程的數(shù)值方法，給黃鴻慈提供了重要啟發(fā)。

在馮康的籌劃下，“水壩計算”小組分為3支小隊，分別從變分法、積分守恒法、去掉壩體基礎(chǔ)的角度開展研究。

崔俊芝在“積分守恒法”小隊，該方法從平衡方程出發(fā)，把應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系帶進(jìn)拉梅方程進(jìn)行計算。經(jīng)過一段時間復(fù)雜而又艱難的計算，他們在1964年春節(jié)前得出第一批計算結(jié)果。驗(yàn)證了格式、解法和程序的正確性后，崔俊芝很快為劉家峽大壩計算出應(yīng)力場，經(jīng)朱昭鈞等驗(yàn)算，應(yīng)力基本平衡，結(jié)果比較滿意，但在壩踵和壩趾附近誤差仍然較大，應(yīng)力場的精度還不夠。

崔俊芝全力以赴編寫了我國第一個平面彈性問題有限元方法計算程序，順利計算出令設(shè)計者滿意的應(yīng)力場。

那個年代，科研人員編寫程序十分困難?！?04”機(jī)沒有操作系統(tǒng)、編譯系統(tǒng)、數(shù)據(jù)管理和進(jìn)程管理等系統(tǒng)軟件，所有程序都需自己使用機(jī)器指令直接編寫出代碼串式的程序，包括輸入數(shù)據(jù)和打印結(jié)果。

在只有2048個存儲單元的內(nèi)存空間，崔俊芝要求解約1000階代數(shù)方程組。他需要先扣除約500個存儲單元存放程序，在剩余約1500個存儲單元的限制下求解。這必須精打細(xì)算、精心設(shè)計迭代算法。

經(jīng)過夜以繼日的調(diào)試、查錯、修改、驗(yàn)算，崔俊芝利用自主編寫的有限元程序，終于為劉家峽設(shè)計組計算出十多組方案及其工況作用下的應(yīng)力場。

1964年5月中旬，“劉家峽計算任務(wù)匯報會”召開。朱昭鈞及其同事、黃鴻慈等參加了會議，崔俊芝匯報了計算任務(wù)完成情況，朱昭鈞對此給予了很高評價。

1966年10月，勝利的消息從高原傳來，萬馬奔騰般奔流而來的黃河被巍峨的大壩攔腰截住，“鎖”在峽谷之中，平靜而緩和。從此，劉家峽水電站成為了亮麗的“高原明珠”。

劉家峽大壩建設(shè)成功后，中央發(fā)出明碼電報，表彰科研人員為劉家峽工程所作出的突出貢獻(xiàn)。

“馮先生總是高瞻遠(yuǎn)矚，引領(lǐng)著計算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究的發(fā)展?！贝蘅≈フf。

1978年10月，馮康（中）與黃鴻慈、數(shù)學(xué)院研究員張關(guān)泉合影。

3?首創(chuàng)：獨(dú)立于西方

馮康一直是計算數(shù)學(xué)團(tuán)隊的實(shí)際學(xué)術(shù)指導(dǎo)和領(lǐng)路人。因?yàn)轳T康，有限元的“種子”從劉家峽大壩的土壤中生根發(fā)芽，成為世界級學(xué)術(shù)成果。

究竟什么是有限元？馮康曾有過形象的比喻：“分整為零、裁彎取直、以簡馭繁、化難為易?！?/p>

有限元方法可謂一種特殊的“拼圖游戲”：為了解決一個復(fù)雜的大問題，例如一個大型建筑的結(jié)構(gòu)分析，先把它拆解成許多小塊，這些小塊的“拼圖碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每個“有限元”，分別建立方程；最后將它們組合成方程組并求解，最終解決問題。

實(shí)際上，我國古代“曹沖稱象”的典故、數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓法計算圓周長，就是有限元思想的具體體現(xiàn)。

1943年，著名數(shù)學(xué)家柯朗發(fā)表了世界上第一篇具有有限元思想的論文，只是由于當(dāng)時計算機(jī)尚未出現(xiàn)，該文章未引發(fā)應(yīng)有的關(guān)注。

20余年后，隨著航空事業(yè)的快速發(fā)展，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析問題對計算方法提出了更高要求。計算機(jī)的出現(xiàn)，使大量復(fù)雜的有限元計算得以實(shí)現(xiàn)。美國波音公司工程師特納、陶普和土木工程教授克勞夫、航空工程教授馬丁合作，在航空科技領(lǐng)域的期刊上發(fā)表了一篇采用有限元技術(shù)計算飛機(jī)機(jī)翼強(qiáng)度的論文。學(xué)界一般認(rèn)為，這是工程學(xué)界有限元方法的開端。

有限元方法于1960年由克勞夫在美國土木工程學(xué)會計算機(jī)會議上第一次正式提出。他發(fā)表的一篇處理平面彈性問題的論文，將應(yīng)用范圍擴(kuò)展到飛機(jī)以外的土木工程。

但當(dāng)時的中國與西方隔絕，中國數(shù)學(xué)家難以了解有限元方法的發(fā)展前沿。

“西方的有限元方法是作為結(jié)構(gòu)工程的分析方法而提出的，在中國則是從數(shù)學(xué)發(fā)展而來，中國和西方沿著不同方向獨(dú)立發(fā)展出有限元方法?！贝蘅≈フf。

馮康于1965年在《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)》發(fā)表論文《基于變分原理的差分格式》，這是一套求解偏微分方程的數(shù)值算法，也是著名的有限元方法。

事實(shí)上，后來任香港浸會大學(xué)教授的黃鴻慈，1963年發(fā)表了中國第一篇包含有限元思想的文章。但他在多個場合提到：“我的文章已包含了證明中最重要的原理，馮先生則是在最廣泛的條件下得出最一般的結(jié)論，這只有在高深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上才能做到，因而也具有更高層次的開創(chuàng)性，西方在1969年以后才得出了類似結(jié)果?！薄叭绻邢拊椒ú皇窍駭?shù)學(xué)家這樣處理，其應(yīng)用就大受限制，就不能形成今天這樣在理論上、應(yīng)用上被如此廣泛重視的局面?！?/p>

《基于變分原理的差分格式》既是馮康的傳世之作，也是中國學(xué)者獨(dú)立于西方創(chuàng)立有限元方法理論的標(biāo)志。

改革開放后，馮康的論文被譯成英文，被世界知曉。原美國總統(tǒng)科學(xué)顧問、紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)研究所所長拉克斯在紀(jì)念馮康的文章中特別指出，馮康“獨(dú)立于西方國家在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的發(fā)展，創(chuàng)造了有限元方法理論……在方法的實(shí)現(xiàn)及理論基礎(chǔ)的創(chuàng)立兩方面都作出了重要貢獻(xiàn)”。

著名數(shù)學(xué)家丘成桐曾在1998年指出：“中國近代數(shù)學(xué)能超越西方或與之并駕齊驅(qū)的有3個，陳省身的示性類、華羅庚的多復(fù)變函數(shù)和馮康的有限元計算?！卑筒妓箍ā⒗趟沟葒H知名數(shù)學(xué)家在相關(guān)文章中也都給予了高度評價。

類似的評價很快得到許多國際同行的認(rèn)同。這篇傳世之作猶如暗夜里的一束火光，指引、溫暖著那群30多歲的年輕人。

位于北京中關(guān)村南街的三室很快熱鬧起來，信函和來訪絡(luò)繹不絕。為全面介紹有限元方法，馮康、崔俊芝等人創(chuàng)辦了講習(xí)班，近300人參加，其中不乏知名學(xué)者。崔俊芝回憶，講習(xí)班影響很大，對促進(jìn)有限元方法在中國的推廣和應(yīng)用發(fā)揮了很大作用。

1982年，馮康、黃鴻慈、王藎賢、崔俊芝因獨(dú)立于西方創(chuàng)立有限元方法獲得國家自然科學(xué)獎二等獎。

馮康（右一）在學(xué)術(shù)報告會上。

4?傳承：突圍工業(yè)軟件內(nèi)核

如今，距離中國科學(xué)院計算數(shù)學(xué)團(tuán)隊完成劉家峽計算任務(wù)已過去60年了。那段歷史多次被計算數(shù)學(xué)家們提起，他們不斷思考：為什么是馮康獨(dú)立于西方開創(chuàng)了有限元方法？如何傳承老一輩科學(xué)家的精神？

崔俊芝這樣解釋為什么馮康能成功：“他擁有深厚的跨學(xué)科知識、多學(xué)科綜合交叉思維的學(xué)術(shù)思想；不僅能深刻認(rèn)識科學(xué)與工程問題的物理模型，洞察解決問題的可行路徑，還能統(tǒng)觀不同科學(xué)與工程問題的內(nèi)涵，以高度抽象和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表述它們；再加上他全身心地投入科學(xué)研究，具有不達(dá)目標(biāo)決不罷休的獻(xiàn)身精神，這些使得他一個接一個地做出了國際首創(chuàng)的研究成果。”

馮康于1993年逝世，年輕人雖未能有機(jī)會當(dāng)面聆聽其教誨，但早已對馮康及劉家峽計算的故事耳熟能詳，并從中汲取著強(qiáng)勁的精神動力。

隨著計算機(jī)的迅猛發(fā)展，基于有限元方法的軟件已經(jīng)成為輔助現(xiàn)代工程和裝備研發(fā)的主要軟件——計算機(jī)輔助工程CAE的核心。CAE 軟件可對工程和裝備的功能、性能與安全可靠性進(jìn)行計算分析，對未來工程和裝備進(jìn)行模擬仿真，證實(shí)其可用性與可靠性。

CAE與計算機(jī)輔助設(shè)計（CAD）、計算機(jī)輔助制造（CAM） 組合簡稱為CAX，是現(xiàn)代工業(yè)的基石、智能制造的靈魂，是我國成為制造強(qiáng)國的基礎(chǔ)性戰(zhàn)略支撐。

2023年7月，在中國科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項支持下，數(shù)學(xué)院成立了基礎(chǔ)軟件研究中心，圍繞工業(yè)軟件CAX一體化的計算方法和數(shù)學(xué)理論，向關(guān)鍵科學(xué)問題發(fā)起沖擊。

數(shù)學(xué)院年輕的研究員崔濤、賈曉紅等組成“馮康CAX科技攻關(guān)青年突擊隊”，承襲先輩的衣缽，構(gòu)建新一代具有中國自主知識產(chǎn)權(quán)的CAX基礎(chǔ)工業(yè)軟件的數(shù)學(xué)內(nèi)核。

基礎(chǔ)軟件研究中心讓平均年齡不超過40歲的年輕人擔(dān)當(dāng)重任，考核標(biāo)準(zhǔn)也不再是發(fā)多少論文，而是產(chǎn)出“實(shí)在、能用”的算法和軟件。

這并不是一條坦途。但在新一代年輕人看來，“路雖遠(yuǎn)，行則將至；事雖難，做則必成”。

馮康領(lǐng)銜開創(chuàng)的有限元方法，正孕育新的開創(chuàng)性、引領(lǐng)性成果，迸發(fā)出嶄新的、無限的可能。

2024年1月，CAX一體化算法開發(fā)驗(yàn)證平臺發(fā)布。數(shù)學(xué)院供圖

（原載于《中國科學(xué)報》?2024-09-13?第4版?專題）